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中学校で登場する数学は、小学校で学ぶ算数の延長だと思っていませんか。それは大きな間違いです。そんな単純に考えていると中一ギャップの原因になります。では算数と数学の違いとは何か?困らないように今の内から準備しておきましょう。

算数は計算、数学は抽象化

算数と数学の大きな違いは、概念的な話です。つまり算数では基本的な計算方法を学びます。足し算、引き算、掛け算、割り算、いわゆる加減乗除の四則計算です。これの応用として小数や分数が加わります。

図形に関しても、基本的な描き方、角度の表し方、面積や体積の求め方を学習します。これらはすべて具体的な考え方です。

一方で数学のテーマは抽象化もしくは一般化です。典型例は、後述するように変数であるxなどの文字を使うことです。小学校では□などとして計算していました。とはいえ変数の概念を用いることにより計算の幅が広がります。式を作るのも簡単になります。

そこで抽象化という概念が上手く頭の中で作れないと、数学は理解できなくなるでしょう。言い換えると、この点が理系的思考につながります。そもそもなぜ抽象化して考える必要があるのか?そういった部分から捉えていくことも重要です。
参考「数学は嫌いですか?数学的思考力を伸ばす3つの方法

ちなみに中学受験では変数が使えないので、鶴亀算や植木算などの工夫が見られます。これは抽象化の一歩です。そのため中学受験を経た子は、中学に入っても数学の成績が伸びやすいようです。もちろん逆も真です。

数学にある大きな落とし穴とは

数学に関して安易に捉えていると、大きな落とし穴に陥ります。もちろん変に理屈で考えない方が、スムーズにいくことも多いですが。とはいえ問題点を整理しておきましょう。

1.マイナスとは何か

中学生がまず初めに悩む点は、マイナスの概念です。しかし悩んでも良いのです。偉大な数学者たちもマイナスの世界について異議を唱えていたからです。

そもそもマイナスとは、人間が計算の便宜上作り出した概念にすぎません。だから、

マイナス×マイナス=プラス!

そうした摩訶不思議な現象を変に疑う必要はないのです。そういう決まりだとして割り切った方が、その後の学習がスムーズになるでしょう。
参考「マイナスとは何か?マイナスの世界は存在するのか

興味のある人は、自分なりに考えてみましょう。誰もが納得する説明ができれば、一流の数学者になれるかもしれません。

2.指数もしくは累乗

同じものを掛け合わせる、いわゆる指数もしくは累乗も勘違いしやすいポイントです。例えばaの3乗にaの2乗を掛けるとaの5乗になります。6乗ではないのか?陥りやすいポイントです。累乗の計算は、掛け算が足し算に、割り算が引き算になります。何故だ?

つまりaの3乗は、aを3回掛けます、つまりa×a×aです。同様にaの2乗は、aを2回掛けるのでa×aです。そして(aの3乗)掛ける(aの2乗)は、(a×a×a)×(a×a)という計算になるのでaの5乗!そういう仕組みです。

慣れれば公式を使うべきでしょうが、初めのうちは紙に書いて計算することをオススメします。中途半端にやると必ず応用でしくじります。何事も基礎を固めることが大切です。

また(-2)と-2も違います。かっこがどこについているか、それによって計算の順序が違ってくるからです。かっこの計算に関しては、算数でおさらいしておきましょう。

なお中学三年生の範囲になりますが、平方根もしくはルートも混乱しやすいですね。とはいえこれがわからないと、中学で習う図形の大御所とも言える三平方の定理がわかりません。ちょっと頑張りましょう。

3.文字が登場します

算数で一部導入されていますが、xなどの変数として文字が登場します。文字を利用することによって数学の世界が一気に広がります。つまりシミュレーションができるためです。

具体的には、1冊100円のノートを何冊買ったらいくらになるか、計算できます。もちろん簡単に暗算できますが、式にすると、100×xです。また四角形の面積を求める場合も、縦xセンチ、横yセンチとして、x×yという式が作れます。

なお数学になると掛け算の×、割り算の÷を省略します。これはxもしくは%、+などと混同しやすいからです。

そのためx×yはxyと続けて表記します。割り算は分数で現し、x÷yはx/yになります。

こうした約束も大切です。

一方で円周率はπを使います。3.14などの面倒な計算がなくなります。これこそ数学における大きな変化です。言い換えると算数より数学の方が計算はかなり楽になるはずです。

4.方程式と移項の原理

文字が自由自在に扱えるようになると、次に待っているのが方程式です。方程式とは、右辺と左辺が「=(イコール)」で結ばれた状態です。ちなみに「>」や「<」などの不等号で結ばれていると不等式になります。

方程式の計算で大切なことは、等式の性質、移項の原理を理解することです。つまり等式の両辺に対して同じことをすれば、等式は成り立ちます。具体的には次の通りです。

A=B ならば A+C=B+C
A=B ならば A-C=B-C
A=B ならば A×C=B×C
A=B ならば A÷C=B÷C

この仕組みを使って項を左右に動かす移項、式の変形を行います。式の変形に慣れていないと、高校の物理が理解できなくなります。しっかり確認しておきましょう。

5.関数とは何か

変数の利用や方程式を学ぶ理由は何か?数学は積み上げ型の教科なので、次のステップがあります。それが関数です。数学は関数に行き着くと言っても過言ではありませんが、まず中一で出会うのは直線の関係である一次関数です。

わかってしまえば当たり前のことですが、関数と言う用語自体がミステリアスかもしれません。かつては函数と書いていました。こちらの方が函(はこ)なので、xというブラックボックスを現わしている!理解しやすいかもしれません。

一次関数は、小学校で学んだ比例の話と同じです。ただしそれをxとyで現します。基本になる式は、y=ax+bです。なんとなく数学っぽい感じがするのは、この辺りからかもしれません。

一次関数を正しく理解していないと、後に学ぶ二次関数がわからなくなります。高校生になれば二次関数の応用や指数関数など関数と名のつくもののオンパレードになります。今の内から慣れておきましょう。そんなに怖いものではありません。

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そもそも算数がわかっていますか

中学の数学でつまづく子供の大半は、小学校の算数が理解できていません。こちらも陥りがちなのは、次の3点です。

1.比例の概念

高校入試を控えた中学三年生でも理解していない場合が多いですね。つまり上述のように数学では関数と言いますが、算数における比例です。間違えやすい部分は、足し算や引き算という差で考えてしまうことです。

しかし直線のグラフで現わされる、言い換えるとそれが比例ですが、この場合には掛け算や割り算として捉えることが大切です。そうした比例の概念が十分に頭の中で築かれていないと、数学的な思考法自体がわからなくなるかもしれません。

2.小数や分数の計算

小数の計算はできますか。字が汚い子供は位取りを間違えます。また掛け算や割り算の場合、答えのどこに小数点を打てばよいのか?基本的な部分で勘違いしている子供が少なくないようです。

一方で分数の計算も面倒ですね。足し算や引き算は分母を揃える、通分が不可欠です。もちろん高学年になれば約分します。ここでは公約数公倍数の概念が求められます。さらに分数の割り算は、ひっくり返して掛け算にします。決まりとして覚えましょう。

3.繰り上がりや繰り下がり

まさかとは思いますが、繰り上がりや繰り下がりで間違える子供が少なくありません。ここでつまづいていては、もちろん難しい計算はできなくなります。意外と勘違いしている子供が多いようです。今一度確かめてみましょう。

デマに惑わされないために

数学は何のために学習するのか?多くの子供が抱く疑問です。大人になって考えてみても、関数や三平方の定理などは使いません。ではなぜ勉強しなければならないのか。

ひとつには理科系科目を理解するためです。化学や物理では計算が不可欠です。そのために数学が必要になります。経済だって数学を使って表します。

実生活に数学や理科は不要か?知らなくても生活できますが、わかっていれば違った物の見方ができます。数学的思考ができればデマに惑わされることもありません。

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